حل تمرین‌های زوج فصل ۱:

## ۱-۲

با فرض رایج `K = 2^10` و `M = 2^20`:

الف)
`32K = 32 × 1024 = 32768` بایت

ب)
`64M = 64 × 2^20 = 67108864` بایت

پ) برای `6.4G` دو برداشت رایج وجود دارد:
اگر `G = 10^9` باشد:
`6.4G = 6400000000` بایت

اگر `G = 2^30` باشد:
`6.4 × 2^30 = 6871947673.6` که برای تعداد دقیق بایت عدد صحیح نمی‌شود؛ تقریباً `6871947674` بایت.

---

## ۱-۴

الف)
`(4310)_5 = 4×5^3 + 3×5^2 + 1×5 + 0 = 580`

ب)
`(198)_12 = 1×12^2 + 9×12 + 8 = 260`

---

## ۱-۶

معادله در مبنای `r` است:

`x^2 - 11x + 22 = 0`

ریشه‌ها `3` و `6` هستند. پس:

جمع ریشه‌ها:
`3 + 6 = 9`

در نتیجه:
`(11)_r = r + 1 = 9`

پس:
`r = 8`

کنترل با حاصل‌ضرب:
`3 × 6 = 18`

و:
`(22)_8 = 2×8 + 2 = 18`

پس مبنا برابر است با:

`8`

---

## ۱-۸

الف)
`(1.11010)_2`

به مبنای ۱۶:
`1.11010₂ = 1.D0₁₆ = 1.D₁₆`

به ده‌دهی:
`1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 = 1.8125`

پس:
`(1.11010)_2 = (1.D)_16 = (1.8125)_10`

ب)
`(1110.10)_2`

به مبنای ۱۶:
`1110.10₂ = E.8₁₆`

به ده‌دهی:
`14 + 1/2 = 14.5`

علت اینکه جواب قسمت ب، ۸ برابر قسمت الف است:
عدد قسمت ب همان عدد قسمت الف است که ممیز دودویی آن ۳ رقم به راست رفته است؛ پس در `2^3 = 8` ضرب شده است.

---

## ۱-۱۰

عدد ده‌دهی `345`:

روش مستقیم به دودویی:

`345 = 256 + 64 + 16 + 8 + 1`

پس:

`345₁₀ = 101011001₂`

روش از طریق مبنای ۱۶:

`345₁₀ = 159₁₆`

و:

`1 5 9 = 0001 0101 1001`

پس:

`345₁₀ = 101011001₂`

روش دوم سریع‌تر است، چون هر رقم شانزدهی مستقیم به ۴ بیت تبدیل می‌شود.

---

## ۱-۱۲

الف) اعداد دودویی `101` و `1011`

جمع:

`101 + 1011 = 10000`

ضرب:

`101 × 1011 = 110111`

ب) اعداد شانزدهی `2E` و `34`

جمع:

`2E + 34 = 62`

ضرب:

`2E × 34 = 958`

پس:

`(2E)_16 + (34)_16 = (62)_16`
`(2E)_16 × (34)_16 = (958)_16`

---

## ۱-۱۴

متمم‌های ۹ و ۱۰:

| عدد        | متمم ۹     | متمم ۱۰    |
| ---------- | ---------- | ---------- |
| `98127634` | `01872365` | `01872366` |
| `72049900` | `27950099` | `27950100` |
| `10000000` | `89999999` | `90000000` |
| `00000000` | `99999999` | `00000000` |

---

## ۱-۱۶

متمم ۱ و متمم ۲ اعداد دودویی:

| عدد        | متمم ۱     | متمم ۲     |
| ---------- | ---------- | ---------- |
| `11101010` | `00010101` | `00010110` |
| `01111110` | `10000001` | `10000010` |
| `00000001` | `11111110` | `11111111` |
| `10000000` | `01111111` | `10000000` |
| `00000000` | `11111111` | `00000000` |

---

## ۱-۱۸

تفریق با استفاده از متمم ۲:

الف)
`11011 - 11001`

اختلاف:

`00010`

ب)
`110100 - 10101`

ابتدا هم‌طول می‌کنیم:

`110100 - 010101 = 011111`

پ)
`1011 - 110000`

هم‌طول:

`001011 - 110000`

چون عدد اول کوچک‌تر است، نتیجه منفی می‌شود:

`1011₂ - 110000₂ = -100101₂`

ت)
`101010 - 101011 = -1`

پس:

`-000001₂`

---

## ۱-۲۰

برای نمایش `+61` و `+27` در متمم ۲، حداقل ۷ بیت لازم است، چون بازه ۷ بیتی در متمم ۲ برابر است با:

`-64` تا `+63`

نمایش‌ها:

| عدد   | نمایش ۷ بیتی متمم ۲ |
| ----- | ------------------- |
| `+61` | `0111101`           |
| `+27` | `0011011`           |
| `-61` | `1000011`           |
| `-27` | `1100101`           |

اکنون عملیات‌ها:

الف)
`(+61) + (-27) = 34`

`0111101 + 1100101 = 0100010`

پس:

`0100010₂ = 34₁₀`

ب)
`(+27) + (-61) = -34`

`0011011 + 1000011 = 1011110`

پس:

`1011110₂ = -34₁₀`

پ)
`(-27) + (-61) = -88`

عدد `-88` در ۷ بیت قابل نمایش نیست، چون از بازه `-64` تا `+63` خارج است. بنابراین سرریز رخ می‌دهد.

ت)
`(-27) + (+61) = 34`

`1100101 + 0111101 = 0100010`

پس:

`0100010₂ = 34₁₀`

---

## ۱-۲۲

نمایش BCD:

`965 = 1001 0110 0101`

`672 = 0110 0111 0010`

جمع BCD:

یکان:

`0101 + 0010 = 0111`

دهگان:

`0110 + 0111 = 1101`

چون `1101` بزرگ‌تر از ۹ است، `0110` اضافه می‌کنیم:

`1101 + 0110 = 1 0011`

پس رقم دهگان `0011` و یک نقلی داریم.

صدگان:

`1001 + 0110 + 1 = 10000`

تصحیح BCD:

`10000 + 0110 = 1 0110`

پس جواب نهایی:

`0001 0110 0011 0111`

یعنی:

`965 + 672 = 1637`

---

## ۱-۲۴

عدد ده‌دهی:

`6027`

الف) کد BCD:

`6 = 0110`
`0 = 0000`
`2 = 0010`
`7 = 0111`

پس:

`6027 = 0110 0000 0010 0111`

ب) کد افزونی ۳:

هر رقم را با ۳ جمع می‌کنیم:

`6 + 3 = 9 → 1001`
`0 + 3 = 3 → 0011`
`2 + 3 = 5 → 0101`
`7 + 3 = 10 → 1010`

پس:

`6027 = 1001 0011 0101 1010`

پ) کد ۲۴۲۱:

طبق جدول کد ۲۴۲۱:

`6 = 1100`
`0 = 0000`
`2 = 0010`
`7 = 1101`

پس:

`6027 = 1100 0000 0010 1101`

---

## ۱-۲۶

برای ۵۲ کارت، حداقل تعداد بیت لازم:

`2^5 = 32 < 52`
`2^6 = 64 ≥ 52`

پس ۶ بیت کافی است.

یک روش مناسب:

۲ بیت برای خال کارت:

| خال | کد   |
| --- | ---- |
| خاج | `00` |
| خشت | `01` |
| دل  | `10` |
| پیک | `11` |

۴ بیت برای شماره کارت:

| کارت | کد     |
| ---- | ------ |
| A    | `0001` |
| 2    | `0010` |
| 3    | `0011` |
| 4    | `0100` |
| 5    | `0101` |
| 6    | `0110` |
| 7    | `0111` |
| 8    | `1000` |
| 9    | `1001` |
| 10   | `1010` |
| J    | `1011` |
| Q    | `1100` |
| K    | `1101` |

پس کد هر کارت برابر است با:

`کد خال + کد شماره کارت`

مثلاً اگر پیک را `11` و K را `1101` بگیریم:

`K پیک = 111101`

---

## ۱-۲۸

کدهای ASCII داده‌شده به حروف تبدیل می‌شوند:

`1001010 = J`
`1100001 = a`
`1101110 = n`
`1100101 = e`
`0100000 = Space`
`1000100 = D`
`1101111 = o`
`1100101 = e`

پس رشته برابر است با:

`Jane Doe`

---

## ۱-۳۰

در ASCII استاندارد ۷ بیتی، کاراکترهای قابل چاپ از کد `32` تا `126` هستند.

تعدادشان:

`126 - 32 + 1 = 95`

از این ۹۵ کاراکتر:

حروف:
`26 + 26 = 52`

ارقام:
`10`

پس کاراکترهای خاص:

`95 - 52 - 10 = 33`

بنابراین:

تعداد کاراکترهای چاپی: `95`
تعداد کاراکترهای خاص: `33`

اگر فاصله را کاراکتر چاپی حساب نکنند، جواب‌ها به‌ترتیب `94` و `32` می‌شوند.

---

## ۱-۳۲

حالت ثبات ۱۲ بیتی:

`100010010111`

آن را به سه گروه ۴ بیتی تقسیم می‌کنیم:

`1000 1001 0111`

الف) اگر BCD باشد:

`1000 = 8`
`1001 = 9`
`0111 = 7`

پس:

`897`

ب) اگر کد افزونی ۳ باشد، از هر رقم ۳ کم می‌کنیم:

`1000 = 8 → 8 - 3 = 5`
`1001 = 9 → 9 - 3 = 6`
`0111 = 7 → 7 - 3 = 4`

پس:

`564`

پ) اگر کد `8-4-(-2)-(-1)` باشد:

`1000 = 8`
`1001 = 7`
`0111 = 1`

پس:

`871`

ت) اگر یک عدد دودویی باشد:

`100010010111₂ = 897₁₆`

و:

`897₁₆ = 2199₁₀`

پس مقدار ده‌دهی آن:

`2199`

---

## ۱-۳۴

برای گیت AND سه‌ورودی:

`F = A.B.C`

برای گیت OR سه‌ورودی:

`G = A + B + C`

جدول درستی:

| A | B | C | F = ABC | G = A+B+C |
| - | - | - | ------- | --------- |
| 0 | 0 | 0 | 0       | 0         |
| 0 | 0 | 1 | 0       | 1         |
| 0 | 1 | 0 | 0       | 1         |
| 0 | 1 | 1 | 0       | 1         |
| 1 | 0 | 0 | 0       | 1         |
| 1 | 0 | 1 | 0       | 1         |
| 1 | 1 | 0 | 0       | 1         |
| 1 | 1 | 1 | 1       | 1         |