## تمرین ۲-۲

**الف)**
`xy + xy' = x(y + y') = x`

**ب)**
`(x + y)(x + y') = x + yy' = x`

**پ)**
`xyz + x'y + xyz' = xy(z + z') + x'y = xy + x'y = y(x + x') = y`

**ت)**
`(A + B)'(A' + B')' = A'B' . AB = 0`

---

## تمرین ۲-۴

**الف)**
`A'C' + ABC + AC'`
`= C'(A' + A) + ABC`
`= C' + ABC`
`= C' + AB`
پاسخ با ۳ لیترال:
`C' + AB`

**ب)**
`(x'y' + z)' + z + xy + wz`
`= (x + y)z' + z + xy + wz`
`= x + y + z`
پاسخ با ۳ لیترال:
`x + y + z`

**پ)**
`A'B(D' + C'D) + B(A + A'CD)`
`D' + C'D = D' + C'`
در نهایت:
`= B`

**ت)**
`(A' + C)(A' + C')(A + B + C'D)`
`= A'(A + B + C'D)`
`= A'B + A'C'D`
پاسخ با ۴ لیترال:
`A'(B + C'D)`

---

## تمرین ۲-۶

**الف)**
`F = xy' + x'y`
`F' = xy + x'y'`

**ب)**
`F = (AB' + C)D' + E`
`F' = [(AB' + C)D' + E]'`
`= E'[(AB' + C)' + D]`
`= E'[D + (A' + B)C']`

**پ)**
`F = (x + y' + z)(x' + z')(x + y)`
`F' = (x + y' + z)' + (x' + z')' + (x + y)'`
`= x'yz' + xz + x'y'`
فرم ساده‌تر:
`F' = xz + x'y' + x'z'`

---

## تمرین ۲-۸

تابع:
`F = xy + xy' + y'z`

چون:
`xy + xy' = x`
پس:
`F = x + y'z`

| x | y | z | F |
| - | - | - | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

پس:
`F = Σ(1,4,5,6,7)`

---

## تمرین ۲-۱۰

**الف)**
`Y = A'B' + B(A + C)`
مدار:
`A` و `B` را NOT کنید، خروجی‌ها وارد AND شوند.
`A` و `C` وارد OR شوند، خروجی آن با `B` وارد AND شود.
دو خروجی AND در نهایت وارد OR شوند.

**ب)**
`Y = BC + AC'`
مدار:
`B` و `C` وارد AND شوند.
`C` را NOT کنید و با `A` وارد AND کنید.
دو خروجی AND وارد OR شوند.

**پ)**
`Y = A + CD`
مدار:
`C` و `D` وارد AND شوند، خروجی آن با `A` وارد OR شود.

**ت)**
`Y = (A + B)(C' + D)`
مدار:
`A` و `B` وارد OR شوند.
`C` را NOT کنید و با `D` وارد OR کنید.
دو خروجی OR وارد AND شوند.

---

## تمرین ۲-۱۲

از جدول:

`T1 = 1` برای حالت‌های `000, 001, 010`
پس:
`T1 = A'B' + A'C' = A'(B' + C')`

`T2 = 1` برای حالت‌های `011, 100, 101, 110, 111`
پس:
`T2 = A + BC`

---

## تمرین ۲-۱۴

### الف)

`F = (xy + z)(y + xz)`

| x | y | z | F |
| - | - | - | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

`F = Σ(3,5,6,7)`
`F = Π(0,1,2,4)`

### ب)

`F = (A' + B)(B' + C)`

| A | B | C | F |
| - | - | - | - |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

`F = Σ(0,1,3,7)`
`F = Π(2,4,5,6)`

### پ)

`F = y'z + wxy' + wxz' + w'x'z`

| w | x | y | z | F |
| - | - | - | - | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

`F = Σ(1,3,5,9,12,13,14)`
`F = Π(0,2,4,6,7,8,10,11,15)`

---

## تمرین ۲-۱۶

`F(A,B,C,D) = B'D + A'D + BD`

چون:
`B'D + BD = D(B' + B) = D`
پس:
`F = D + A'D = D`

بنابراین:

`F = Σ(1,3,5,7,9,11,13,15)`
`F = Π(0,2,4,6,8,10,12,14)`

---

## تمرین ۲-۱۸

**الف)**
`F(x,y,z) = Σ(1,3,7)`
تبدیل به فرم ماکسترم:
`F(x,y,z) = Π(0,2,4,5,6)`

**ب)**
`F(A,B,C,D) = Π(0,1,2,3,4,6,12)`
تبدیل به فرم مینترم:
`F(A,B,C,D) = Σ(5,7,8,9,10,11,13,14,15)`

---

## تمرین ۲-۲۰

بدون ساده‌سازی:

**الف)**
`F = BC' + AB + ACD`
مدار:
`C` را NOT کنید.
سه AND بسازید: `BC'` ، `AB` ، `ACD`
خروجی سه AND وارد یک OR سه‌ورودی شود.

**ب)**
`F = (A + B)(C + D)(A' + B + D')`
مدار:
یک OR برای `A + B`
یک OR برای `C + D`
`A` و `D` را NOT کنید و سپس OR برای `A' + B + D'`
سه خروجی OR وارد یک AND سه‌ورودی شوند.

**پ)**
`F = (AB + A'B')(CD' + C'D)`
مدار:
برای بخش اول: `AB` و `A'B'` را بسازید و OR کنید.
برای بخش دوم: `CD'` و `C'D` را بسازید و OR کنید.
دو خروجی حاصل وارد AND نهایی شوند.

---

## تمرین ۲-۲۲

### الف) عمل نهی/Implication جابجاپذیر و شرکت‌پذیر نیست

تعریف implication:
`x → y = x' + y`

**جابجاپذیر نیست:**
`x → y = x' + y`
`y → x = y' + x`
این دو برابر نیستند. مثلا اگر `x = 0` و `y = 1` باشد:
`x → y = 1`
`y → x = 0`

پس جابجاپذیر نیست.

**شرکت‌پذیر نیست:**

`(x → y) → z = (x' + y)' + z = xy' + z`

اما:

`x → (y → z) = x' + (y' + z) = x' + y' + z`

این دو برابر نیستند. مثلا برای `x = 0, y = 1, z = 0`:

`(x → y) → z = 0`
`x → (y → z) = 1`

پس شرکت‌پذیر نیست.

### ب) XOR جابجاپذیر و شرکت‌پذیر است

تعریف XOR:
`x ⊕ y = x'y + xy'`

**جابجاپذیری:**
`y ⊕ x = y'x + yx' = xy' + x'y = x ⊕ y`

پس XOR جابجاپذیر است.

**شرکت‌پذیری:**

`(x ⊕ y) ⊕ z` و `x ⊕ (y ⊕ z)` هر دو به عبارت زیر می‌رسند:

`x'y'z + x'yz' + xy'z' + xyz`

پس:
`(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)`

بنابراین XOR شرکت‌پذیر است.